Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

Sei que o título desta postagem é tão complicado de se compreender quanto o 5º postulado de Euclides:

Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Wikipedia)

O objetivo é determinar o centro de uma circunferência $\beta'$ que é o inverso de outra circunferência, chamada de $\beta$, em relação a uma circunferência $\alpha$. Veremos, a seguir, que apesar de um enunciado tão complicado de entender, o teorema é bem compreensível.

Teorema 1 - Considere as circunferências $\alpha$ com centro em $A$ e $\beta$ com centro em $B$, onde $\beta$ não passa por $A$. Sendo $\beta '$ o inverso de $\beta$ em relação a $\alpha$ e $A'$ o inverso de $A$ em relação a $\beta$, então, $A''$, inverso de $A'$ em relação a $\alpha$, é o centro da circunferência $\beta'$, ver Figura 1.

Figura 1: $A''$ é o centro da circunferência $\beta'$ inversa de $\beta$ em relação a $\alpha$

DEMONSTRAÇÃO

Veja a Figura 2, a reta $r$ passa pelos pontos $A$ e $B$, como $A'$ é o inverso de $A$ em relação a $\beta$, então $A'\in r$ (ver Definição 1 - Inversão na circunferência) e como $B$ é o centro de $\beta$, então $r$ é ortogonal a $\beta$ (ver Lema 2 - Circunferências ortogonais). A circunferência $\varepsilon$ passa pelos pontos $A$ e $A'$, como $A$ e $A'$ são inversos em relação a $\beta$, então $\varepsilon$ é ortogonal a $\beta$ (ver Teorema 1 - Circunferências ortogonais). A reta $\varepsilon '$ é inversa a $\varepsilon$ em relação a $\alpha$ (ver Teorema 1 - Inversão de circunferência em relação a outra circunferência), como $\varepsilon$ e $\beta$ são ortogonais, então $\varepsilon '$ e $\beta'$ também são ortogonais (ver Inversão de ângulos formados por retas e circunferências), então, conforme o Lema 2 - Circunferências ortogonais, $\varepsilon '$ passa pelo centro de $\beta '$. Como $r$ passa pelo centro $A$ de $\alpha$, então, o inverso de $r$, em relação a $\alpha$, é a própria reta $r$, dessa forma, $r$ também é ortogonal a $\beta'$, assim, sendo $O$ o centro de $\beta'$, então, $O\in\varepsilon'\cap r$. Como $A,A'\in\varepsilon\cap r$ e o inverso de $A$ é o ponto ideal $\Omega$ e $A'$ é $A''$, em relação a $\alpha$, então, $\{\Omega,A''\}=\varepsilon '\cap r$. Portanto, temos que $O=A''$, ou seja, $A''$ é o centro da circunferência $\beta '$.

$\square$

Figura 2: Demonstração da Teorema 1

Este teorema é válido para $\alpha\cap\beta\neq\phi$ desde que $\beta$ não passe pelo centro de $\alpha$, pois, se $\beta$ passasse por $A$, então $\beta'$ seria uma reta.

Considerações

Este teorema tem importante aplicação na Geometria Hiperbólica, especificamente, no Modelo de Disco de Poincaré. Com ele, poderemos determinar circunferências no plano hiperbólico.

Referência Bibliográfica

MUNARETTO, Ana Cristina Corrêa. Resolução do problema de Apolônio por meio de inversão: Um roteiro de estudo para a formação de Professores em Geometria. 2010. 61 f. Monografia (Especialização) - Curso de Pós-graduação em Expressão Gráfica, Departamento de Expressão Gráfica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2010.